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前言

1 引言 2 与二次三项式有关的极值问题 3 算术--几何平均不等式对极值问题的应用 4 与三角函数有关的极值问题 5 一些初等几何极值问题的直接解法 6 二元一次函数条件极值问题的图像解法 7 某些分式函数和无理函数的极值求法 8 柯西不等式和伯努利不等式对极值问题的应用 9 杂例 10 补充练习题

11 练习题的解答或提示 附录1 算术--几何平均不等式的证明 附录2 伯努利不等式的证明

朱尧辰，江苏镇江人，1942年生，1964年毕业于中国科学技术大学应用数学系，1992年任中国科学院应用数学研究所研究员，主要研究数论，曾任《数学进展》常务编委。1983年至1993年期间先后在法国Henri Poincaré研究所和IHES、德国Max-Planck数学研究所和Kln大学、美国Southern Mississippi大学、香港浸会学院等科研机构和大学从事合作研究，迄今发表论文约100篇，出版专著4本，享受国务院政府特殊津贴。

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编辑推荐

“数林外传系列：跟大学名师学中学数学”中的一册。

前言

前 言

极值问题是一类重要的数学课题,在自然科学和生产活动中有着广泛的应用.在历次版本的中学数学教材中,初等极值问题都占有一定的份额;在各类中等数学水平的考试或竞赛中也不乏难度各异的初等极值问题.

历年来与极值问题有关的中等水平的出版物,总计不下数十种,它们在撰写的意图、读者对象的取向以及论述的广度和深度等方面都有所差别.鉴于本系列丛书的性质并参照现行中学数学教材的精神,我们确定这本小册子的取材范围大体限定在传统中等数学的范围内,尽量不涉及某些虽然著名但要牵涉较多的其他预备知识的“经典”极值问题,特别,不涉及应用导数求极值的内容,并且着重基本的解题方法和题目类型的多样化(但尽量避免过于人为化的问题),同时也介绍一些基本解题技巧,以使较多的读者能从中有所收益.

本小册子含十一节和两个附录.前五节是基本材料.第1节是引言,给出一些与极值有关的基本的概念.第2~5节分别通过例题的形式给出中学数学(初等代数、平面三角和初等几何)中的一些基本极值问题的解法,包含若干常用解题原则.第6~8节给出一些特殊的极值方法.其中第6节讨论二元一次函数条件极值问题的图像解法,实际是线性规划的初步介绍;第7节给出应用二次方程判别式求某些分式函数和无理函数的极值问题的方法;第8节是第3节的继续,它们一起给出一些常见不等式对极值问题的应用.第9节是对前面各节的补充,包含一些有一定难度的综合性例题.第10节混编了一些不分类的、难易程度不等的极值问题,具有复习和提高的性质,供读者选用.后一节是所有练习题的解答或提示,供读者参考.附录1给出正文中经常应用的算术--几何平均不等式的几种证明(包括5个初等的和2个非初等的证明),附录2给出正文中定理8.2(伯努利不等式)的初等证明.它们是选读材料.

限于笔者的水平和经验,这本小册子在取材和表述等方面难免存在不足之处甚至谬误,欢迎读者和同行批评指正.

朱尧辰

2014年12月于北京